Huvudmeny

Begreppsutveckling i matematikens historia

Johanna Pejlare, universitetslektor

I ett pågående forskningsprojekt fördjupar jag mig bland annat i den debatt som ägde rum under 1800-talet och som behandlar naiva bilder och visuella representationer, och vilken betydelse dessa har haft för utvecklingen av fundamentala begrepp inom matematikens analys. En förgrundsgestalt inom den här debatten var matematikern Felix Klein, som hyste ett stort intresse för utbildningsrelevanta frågor. Klein poängterade intuitionens betydelse vid matematikens utveckling, men även vid lärandet av matematik. Jag har tidigare studerat Kleins teori om att matematiska begrepp införs i flera steg, från naiv till förfinad intuition.

Den moderna matematiken behandlar abstrakta väldefinierade begrepp, men elever och studenter som använder matematik är ofta inte medvetna om dessa definitioner. Istället lär de sig att känna igen ett begrepp genom enskilda exempel. Detta kan till viss del förklaras genom Kleins naiva intuition och genom den begreppsförskjutning som äger rum i matematikens historia men även hos individen när hon lär sig matematik: begreppen förskjuts i matematikens historiska utveckling, men deras betydelse förskjuts även hos individen.

Ur ett historiskt perspektiv studerar jag begreppsförskjutningen närmare genom att följa hur naiva bilder och visuella representationer har påverkat utvecklingen av några fundamentala begrepp inom matematisk analys under 1800-talet. Bland de begrepp jag undersöker återfinns bland annat: funktion, kurva, kontinuitet, deriverbarhet och dimension. Gemensamt för dessa begrepp är att föreställningar om dem, som var baserade på intuitiva argument, nu utmanades av nya matematiska exempel baserade på strikta formella regler. Till exempel så baserades det “bevis” som Ampère presenterade, att alla kontinuerliga funktioner är deriverbara överallt förutom i isolerade punkter, på intuitiva argument. Detta “bevis” ansågs korrekt tills Weierstrass presenterade ett motexempel och därmed påvisade existensen av kontinuerliga men ingenstans deriverbara funktioner. Dock hade många matematiker svårt att acceptera detta formella exempel eftersom det motsäger intuitionen. Kleins reaktion var att han ville förändra funktionsbegreppet så att det bättre stämmer överens med intuitionen. Helge von Koch försökte istället konstruera “bättre” motexempel som skulle vara enklare att förstå intuitivt. Jag har funnit att liknande debatter uppstod när Jordan definierade det moderna kurvbegreppet och när först Peano konstruerade ett rent analytiskt exempel av en kurva som fyllde hela planet och därefter Hilbert gav ett, enligt honom, mer intuitivt exempel när han konstruerade en motsvarande kurva rent geometriskt. Dessa “monsterkurvor” sågs som problematiska eftersom de ifrågasatte dimensionsbegreppet: en kurva sågs traditionellt som en-dimensionell men dessa kurvor var två-dimensionella. En fråga som uppstod var: Borde kurvbegreppet förändras så att dessa kurvor inte längre accepteras eller borde istället dimensionsbegreppet förändras? De förskjutningar som jag har funnit i den historiska debatten önskar jag koppla samman med didaktiska frågeställningar. T ex tror jag att en djupare förståelse för den historiska utvecklingen av matematiska begrepp kan bidra till en ökad förståelse för problem som studenter kan uppleva vid lärandet av matematik: inte nog med att vi får en ökad förståelse för studenternas lärandeprocess, framför allt får studenterna en ökad förståelse för de matematiska begreppen och varför de uppträder som de gör.